Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$kx²+k（k∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为12，求函数f（x）的极值；
（2）设k＜0，g（x）=f′（x），求F（x）=g（x²）在区间（0，$\sqrt{2}$）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得k=4，由导数大于0，可得增区间；导数小于0可得减区间，进而得到极值；
（2）求出g（x）和F（x）的解析式，令t=x²∈（0，2]，可得F（x）=h（t）=t²+kt=（t+$\frac{k}{2}$）²-$\frac{{k}^{2}}{4}$，k＜0，t=-$\frac{k}{2}$＞0，讨论对称轴和区间的关系，结合单调性，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$kx²+k的导数为f′（x）=x²+kx，
由题意可得f′（2）=4+2k=12，解得k=4，
即有f（x）=$\frac{1}{3}$x³+2x²+4，f′（x）=x²+4x，
当x＞0或x＜-4时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当-4＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减．
可得f（x）的极小值为f（0）=4；f（x）的极大值为f（-4）=$\frac{44}{3}$；
（2）F（x）=x⁴+kx²，t=x²∈（0，2]，
可得F（x）=h（t）=t²+kt=（t+$\frac{k}{2}$）²-$\frac{{k}^{2}}{4}$，k＜0，t=-$\frac{k}{2}$＞0，
①当-4＜k＜0时，-$\frac{k}{2}$∈（0，2），h（t）_min=h（-$\frac{k}{2}$）=-$\frac{{k}^{2}}{4}$；
②当k≤-4时，-$\frac{k}{2}$∈[2，+∞），h（t）在（0，2）递减，h（t）_min=h（2）=4+2k．
综上可得，h（t）_min=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{k}^{2}}{4}，-4＜k＜0}\\{4+2k，k≤-4}\end{array}\right.$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和分类讨论的思想方法，属于中档题．