Question

2．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），P在左支上，若$\frac{{{{|{P{F_2}}|}^2}}}{{|{P{F_1}}|}}$的最小值为8a，求离心率的取值范围（1，3]．

Answer 1

分析 由双曲线定义得$\frac{{{{|{P{F_2}}|}^2}}}{{|{P{F_1}}|}}$=$\frac{4{a}^{2}}{|P{F}_{1}|}$+4a+|PF₁|≥8a，由此利用基本不等式结合双曲线的性质能求出双曲线的离心率的取值范围．

解答 解：由双曲线定义知：|PF₂|-|PF₁|=2a，|PF₂|=2a+|PF₁|，
$\frac{{{{|{P{F_2}}|}^2}}}{{|{P{F_1}}|}}$=$\frac{（2a+|P{F}_{1}|）^{2}}{|P{F}_{1}|}$=$\frac{4{a}^{2}}{|P{F}_{1}|}$+4a+|PF₁|≥8a，
当且仅当 $\frac{4{a}^{2}}{|P{F}_{1}|}$=|PF1|，
即|PF₁|=2a时取得等号
设P（x₀，y₀） （x₀≤-a）
由焦半径公式得：|PF₁|=-ex₀-a=2a
∴ex₀=-2a，e=-$\frac{3a}{{x}_{0}}$≤3，
又双曲线的离心率e＞1，∴e∈（1，3]．
故答案为：（1，3]．

点评 本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．