Question

7．若a≠0，试求函数f（x）=-$\frac{2}{3}$ax³-x²+a²x²+2ax的单调区间与极值．

Answer 1

分析 先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：∵函数f（x）=-$\frac{2}{3}$ax³-x²+a²x²+2ax，
∴f′（x）=-2ax²-2x+2a²x+2a=（-2ax-2）（x-a），
a＞0时，-$\frac{1}{a}$＜a，
令f′（x）＞0，解得：x＞a或x＜-$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：-$\frac{1}{a}$＜x＜a，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{1}{a}$），（a，+∞）递增，在（-$\frac{1}{a}$，a）递减，
∴f（x）_极大值=f（-$\frac{1}{a}$）=-$\frac{1}{{3a}^{2}}$-1，f（x）_极小值=f（a）=$\frac{1}{3}$a⁴+a²，
a＜0时，-$\frac{1}{a}$＞a，
令f′（x）＞0，解得：x＞-$\frac{1}{a}$或x＜a
令f′（x）＜0，解得：a＜x＜-$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（-∞，a），（-$\frac{1}{a}$，+∞）递增，在（a，-$\frac{1}{a}$）递减，
∴f（x）_极小值=f（-$\frac{1}{a}$）=-$\frac{1}{{3a}^{2}}$-1，f（x）_极大值=f（a）=$\frac{1}{3}$a⁴+a²．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．