Question

设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求证：f（0）=1且当x＜0时，f（x）＞1；
（2）设集合A={（x，y）|f（-x²+6x-1）•f（y）=1}，B={（x，y）|y=a}，且A∩B=∅，求实数a的取值范围；
（3）求证：f（x）在R上是减函数．

Answer 1

分析：（1）依题意，取m=0，n=2⇒f（0+2）=f（0）f（2），当x＞0时，0＜f（x）＜1⇒f（2）≠0，于是知f（0）=1；当x＜0时，-x＞0⇒

1

f(-x)

＞1；取 m=x，n=-x，⇒f（x）•f（-x）=1，从而可证当x＜0时，f（x）＞1；
（2）依题意，在集合A中，y=x²-6x+1；在集合B中，有y=a，由A∩B=∅知抛物线y=x²-6x+1与直线y=a无交点，从而可求得实数a的取值范围；
（3）由（1）及题设可知，在R上f（x）＞0，设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，f（x₁-x₂）＞1，作差f（x₁）-f（x₂），判断符号，从而利用函数单调性的定义即可证明其单调递减的性质．

解答：证明：（1）∵f（m+n）=f（m）•f（n），m，n为任意实数，
取m=0，n=2，则有f（0+2）=f（0）f（2），
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，
∴f（2）≠0，
∴f（0）=1；
当x＜0时，-x＞0，
∴0＜f（-x）＜1，
∴

1

f(-x)

＞1；
取 m=x，n=-x，
则f（x-x）=f（0）=f（x）•f（-x）=1，
∴f（x）=

1

f(-x)

；
（2）在集合A中，∵f（-x²+6x-1）•f（y）=1，
∴f（-x²+6x-1+y）=f（0），
∴-x²+6x-1+y=0，
即y=x²-6x+1，
在集合B中，有y=a，
∵A∩B=∅，则抛物线y=x²-6x+1与直线y=a无交点，
∵y=x²-6x+1=（x-3）²-8，
∴y_mim=-8，
∴a＜-8，即a的取值范围是（-∞，-8）；
（3）证明：由（1）及题设可知，在R上f（x）＞0，
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）
=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）
=f（x₁-x₂）•f（x₂）-f（x₂）
=[f（x₁-x₂）-1]•f（x₂），
∵f（x₁-x₂）-1＞0，f（x₂）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上是减函数．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法，考查直线与圆锥曲线的位置关系，突出考查函数单调性的判定与等价转化思想的综合应用，属于难题．