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设函数y=f(x)=ax+
1x+b
(a≠0)
的图象过点(0,-1)且与直线y=-1有且只有一个公共点;设点P(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任意一点,过点P分别作直线y=x和直线x=1的垂线,垂足分别是M,N.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心Q;
(3)证明:线段PM,PN长度的乘积PM•PN为定值;并用点P横坐标x0表示四边形QMPN的面积..
分析:(1)将(0,-1)代入f(x);将f(x)与y=-1得到的方程只有一个解,判别式为0;列出方程组求出a,b,求出解析式.
(2)利用函数图象的变换规律得到f(x)是有g(x)的图象平移得到,得到对称中心.
(3)求出交点坐标,表示出两点的距离,求出距离的乘积;利用三角形的面积公式求出平行四边形的面积.
解答:解:(1)∵函数f(x)=ax+
1
x+b
(a≠0)的图象过点(0,-1)
∴f(0)=-1得b=-1
所以f(x)=ax+
1
x+1
,(2分)
∵f(x)的图象与直线y=-1有且只有一个公共点
∴-1=ax+
1
x+1
只有一解即x[ax+(a-1)]=0只有一解∴a=1
∴f(x)=x+
1
x-1
(4分)
(2)证明:已知函数y1=x,y2=
1
x
都是奇函数.
所以函数g(x)=x+
1
x
也是奇函数,其图象是以原点为中心的中心对称图形.
而f(x)=x-1+
1
x-1
+1
可知,函数g(x)的图象向右、向上各平移1个单位,即得到函数f(x)的图象,
故函数f(x)的图象是以点Q(1,1)为中心的中心对称图形.(9分)
(3)证明:∵P点(x0x0+
1
x0-1
)

过P作PA⊥x轴交直线y=1于A点,交直线y=x于点B,
则QA=PN=AB=x0-1,QB=
2
(x0-1)

PA=yP-1=x0-1+
1
x0-1
,∴PB=PA-AB=
1
x 0-1

∴PM=BM=
2
2
PB=
1
2
(x0-1)

∴PM•PN=
1
2
(x0-1)
.(x0-1)=
2
2
为定值.(13分)
连QP;∵QM=QB+BM=
2
(x0-1)
+
1
2
(x0-1)

∴S△QMP=
1
2
QM×PM=
1
2
×
[
2
(x0-1)
+
1
2
(x0-1)
].
1
2
(x0-1)
=
1
2
+
1
4(x0-1)2

又S△QNP=
1
2
NP×PA=
1
2
(x0-1).(x0-1+
1
x0-1
)=
1
2
(x0-1)2+
1
2

∴SQMPN=
1
2
(x0-1)2+
1
2
+
1
2
+
1
4(x0-1)2
=
1
2
(x0-1)2
+
1
4(x0-1)2
+1(16分)
点评:本题考查待定系数法求函数的解析式、图象的平移变换、点到直线的距离公式、三角形的面积公式.
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设函数y=f(x)=
2x
2x+
2
上两点p1(x1,y1),p2(x2,y2),若
op
=
1
2
(
op1
+
op2
)
,且P点的横坐标为
1
2

(1)求P点的纵坐标;
(2)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(
n
n
)
,求Sn
(3)记Tn为数列{
1
(Sn+
2
)(Sn+1+
2
)
}
的前n项和,若Tn<a(Sn+2+
2
)
对一切n∈N*都成立,试求a的取值范围.

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