Question

设函数f(x)=ax+

1

x+b

(a，b∈Z)，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式：
（Ⅱ）证明：函数y=f（x）的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．

Answer 1

分析：（I）欲求在点（2，f（2））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（Ⅱ）由函数y₁=x，y2=

1

x

都是奇函数．可得和函数也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．再按向量a=（1，1）平移，即得到函数f（x）的图象，故函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形．
（Ⅲ）先在曲线上任取一点(x0，x0+

1

x0-1

)．利用导数求出过此点的切线方程为，令x=1得切线与直线x=1交点．令y=x得切线与直线y=x交点．从而利用面积公式求得所围三角形的面积为定值．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=a-

1

(x+b)2

，
于是

2a+ 1 2+b =3 a- 1 (2+b)2 =0

解得

a=1 b=-1

或

a= 9 4 b=- 8 3 .

因a，b∈Z，故f(x)=x+

1

x-1

．
（Ⅱ）证明：已知函数y₁=x，y2=

1

x

都是奇函数．
所以函数g(x)=x+

1

x

也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．
而f(x)=x-1+

1

x-1

+1．可知，函数g（x）的图象按向量a=（1，1）平移，即得到函数f（x）的图象，
故函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形．
（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点(x0，x0+

1

x0-1

)．
由f′(x0)=1-

1

(x0-1)2

知，过此点的切线方程为y-

x 2 0 -x0+1

x0-1

=[1-

1

(x0-1)2

](x-x0)．
令x=1得y=

x0+1

x0-1

，切线与直线x=1交点为(1，

x0+1

x0-1

)．
令y=x得y=2x₀-1，切线与直线y=x交点为（2x₀-1，2x₀-1）．
直线x=1与直线y=x的交点为（1，1）．
从而所围三角形的面积为

1

2

|

x0+1

x0-1

-1||2x0-1-1|=

1

2

|

2

x0-1

||2x0-2|=2．
所以，所围三角形的面积为定值2．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数解析式的求解及待定系数法等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．