Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的一点.

（Ⅰ）若点为棱的中点，证明：；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】

（1）以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BE⊥DC;（2）求出平面EAB的法向量，平面ABP的法向量，利用向量法能求出二面角E-AB-P的余弦值．

（Ⅰ）因为底面，底面，底面，

所以：，，又，

所以：，，两两互相垂直，

以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系：

可得，，，，

因为点为棱的中点，得，

故，，

，

所以；

（Ⅱ），，，，

不妨设，，

故

由，得，

解得，

即，

设为平面的法向量，

则，即，

不妨令，可得为平面的一个法向量，

易知平面的一个法向量，

则，

二面角是锐角，所以余弦值为.