Question

已知关于x的二次函数f（x）=ax²-8bx+1．
（1）设集合M={1，2，3}和N={-1，1，2，3，4，5}，从集合M中随机取一个数作为a，从N中随机取一个数作为b，求函数y=f（x）在区间[2，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域

x+y-6≤0 x＞0 y＞0

内的随机点，求函数y=f（x）在区间[2，+∞）上是增函数的概率．

Answer 1

分析：（I）记事件A=“函数y=f（x）在区间上是增函数”，根据二次函数的图象与性质，可得A包含的基本事件需满足a∈M、b∈N且2b≤a，由此可得共有5个基本事件，再由古典概型计算公式即可算出所求的概率．
（II）作出不等式组表示的平面区域，得到△AOC及其内部，其中A（6，0），B（0，6）．再由（I）的不等式组解出符合题意的不等式组表示的平面区域为△AOB及其内部，其中B（4，2），由此结合几何概型计算公式即可算出相应的概率．

解答：解（Ⅰ）∵函数f（x）=ax²-8bx+1的图象的对称轴为x=

4b

a

．
∴要使f（x）=ax²-8bx+1在区间[2，+∞）上为增函数，
当且仅当a＞0且

4b

a

≤2，即2b≤a．…2′
由此可得：若a=1，则b=-1；若a=2则b=±1；若a=3，则b=±1．…5′
记事件A=“函数y=f（x）在区间上是增函数”
则事件A包含基本事件的个数是1+2+2=5个
因此，所求事件A的概率为P(A)=

5

18

．…7′
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当且仅当2b≤a且a＞0时，函数f（x）=ax²-8bx+1在区间[2，+∞）上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为：

a+b-6≤0 a＞0 b.0

，
对应图中的△AOC及其内部，其中A（6，0），B（0，6）
而构成所求事件的区域为△AOB部分及其内部，如图所示．…9′
由

a+b-6=0 b= a 2

解得交点为B（4，2）．…11′
∴函数在区间[2，+∞）上是增函数的概率为P=

S△AOB

S△AOC

=

1 2 ×6×2

1 2 ×6×6

=

1

3

．…14′．
答：两种情况下，函数y=f（x）在区间[2，+∞）上是增函数的概率分别为

5

18

和

1

3

．

点评：本题着重考查了二次函数的图象与性质、古典概型和几何概型计算公式，考查了二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题．