Question

设e₁，e₂分别是具有公共焦点F₁，F₂的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，O是F₁，F₂的中点，且满足|PO|=|OF₂|，则

e1e2

e 2 1 + e 2 2

=

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出椭圆的长半轴，双曲线的实半轴，它们的半焦距，利用椭圆的和双曲线的定义可得焦半径，写出两个曲线的离心率，即可得到结果．

解答： 解：设椭圆的长半轴是a₁，双曲线的实半轴是a₂，它们的半焦距是c
并设|PF₁|=m，|PF₂|=n，m＞n，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n=2a₁，m-n=2a₂，
解得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，
∵|PO|=|OF₂|，∴PF₁⊥PF₂，
由勾股定理得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²
∴（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²=（2c）²
化简可得a₁²+a₂²=2c²
∴

1

e12

+

1

e22

=2
∴

e1e2

e 2 1 + e 2 2

=

1 1 e12 + 1 e22

=

1

2

=

2

2

，
故答案为：

2

2

．

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是得到两个曲线的参数之间的关系，属于中档题．