Question

已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足g（x）≠0，f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），f（x）=a^x•g（x），．令，则使数列{a_n}的前n项和S_n超过的最小自然数n的值为________．

Answer 1

5
分析：分别令x等于1和x等于-1代入①得到两个关系式，把两个关系式代入②得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，根据f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x）可知 =a^x 是减函数，对求得的a进行取舍，求出数列{a_n}的通项公式，进而求得其前n项和S_n，解不等式S_n≤，即可求得结果．
解答：令x=1，得到f（1）=a•g（1）；令x=-1，f（-1）=•g（-1）．
代入 可得 a+=，化简得2a²-5a+2=0，即（2a-1）（a-2）=0，解得a=2或a=．
∵f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），∴′＜0，
从而可得 =a^x 是减函数，故a=．
∴=，S_n==1-．
再由 1-＞ 解得 n＞4，故 n的最小值为5，
故答案为 5．
点评：题考查学生会利用有理数指数幂公式化简求值，利用导数研究函数的单调性，等比数列求和等知识，综合性强，根据已知求出=a^x 的单调性是解题的关键，考查运算能力和应用知识分析解决问题的能力，属中档题．