Question

【题目】如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，.

（1）证明：直线平面

（2）求直线与平面所成的角的大小；

（3）求平面与平面所成的二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .(3)

【解析】

（1）取CD中点O,连接MO，由面面垂直的性质定理得到线面垂直，再由线面平行的判定定理即证明MOAB，得到线面平行；

（2）取中点，连，，以为原点，直线、、为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，从而得到与平面的法向量的坐标，再求线面角的正弦值，从而得到线面角的大小；

（3）分别求出两个面的法向量，再求法向量夹角的余弦值，进而得到二面角的余弦值，最后利用同角三角函数的基本关系得到二面角的正弦值.

（1）取CD中点O,连接MO，平面平面，则平面，

平面，所以MOAB.

又面MCD，面MCD,所以面MCD.

（2）取中点，连，，则，，

又平面平面，则平面.

以为原点，直线、、为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图.

，则各点坐标分别为，，，，，

设直线与平面所成的角为，

因为，平面的法向量为，

则有，所以.

（3），.设平面的法向量为，

由得.解得，，取，

又平面的法向量为，则

设所求二面角为，则.