Question

【题目】某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本为万元．

（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？

（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图）．经实验知，每台机器人的日平均分拣量为，（单位：件）．已知传统的人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？

Answer 1

【答案】（1）300台；（2）.

【解析】

（1）由总成本万元，可得每台机器人的平均成本，然后利用基本不等式求最值；
（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量，分段求出300台机器人的日平均分拣量的最大值及所用人数，再由最大值除以1200，可得分拣量达最大值时所需传统分拣需要人数，则答案可求．

解：（1）由总成本万元，

可得每台机器人的平均成本：

．
当且仅当，即时，上式等号成立．
∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；
（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量，
当时，300台机器人的日平均分拣量为，
∴当时，日平均分拣量有最大值144000．
当时，日平均分拣量为480×300＝144000．
∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．
若传统人工分拣144000件，则需要人数为人．
∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少．