Question

【题目】若定义在R上的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得对任意实数x都成立，则称是一个“k～特征函数”．则下列结论中正确命题序号为____________.

①是一个“k～特征函数”；②不是“k～特征函数”；

③是常数函数中唯一的“k～特征函数”；④“～特征函数”至少有一个零点；

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根据题意：依次检验定义域，连续性，是否存在常数使得对任意实数x都成立即可.

①，考虑即：，，

考虑，必存在使，

即存在，使得对任意实数x都成立，所以①正确；

②，讨论，即

当时，关于的方程无解，

不存在使对任意实数x都成立，

所以不是“k～特征函数”，所以②正确；

③设常数函数，讨论，即，

当时对任意实数x都成立，所以任何一个常数函数都可以是“-1～特征函数”，

所以③错误；

④设是“～特征函数”， 则是定义在R上的连续函数，

且对任意实数x都成立，

下面利用反证法证明必有零点：

证明：假设没有零点，因为是定义在R上的连续函数，则恒成立，或恒成立；

当恒成立，则，，与题矛盾；

当恒成立，则，，与题矛盾；

所以必有零点，所以④正确.

故答案为：①②④