Question

【题目】设函数\.

（1）若且在处的切线垂直于y轴，求a的值；

（2）若对于任意，都有恒成立，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

（1）先求得的导函数,根据在处的切线垂直于y轴可知在处的导数等于0,代入即可求得的值.

（2）根据任意,都有恒成立,则成立,代入可得.结合函数单调性,使得在上满足单调递增且,即可得的取值范围.再利用构造函数法,证明在时满足单调递增即可.

（1）,则,∴,

∵且在处的切线垂直于y轴,

∴,∴,又

∴

（2）对于任意,都有恒成立,则,所以,

,,,得,所以,即,

下面证明成立,

∴,令,,

∴令,,∴,

∴函数在上单调递增,由,∴,

∴在上单调递增,.

当时,,∴，∴函数在上单调递增,

∴成立,

所以对于任意，都有恒成立.

当时，，而在上单调递增,

∴存在唯一的，使得，即，，

且时，单调递减，时，单调递增，

，而，

令，

∴，

令，得或，

或时，单调递减，时，单调递增，

∴是的极小值，而，∴当时，有小于0的函数值，也即是有小于0的函数值，这与对于任意，都有恒成立，相矛盾，∴当时，不满足题意，

综上可得，a的取值范围是.