Question

【题目】已知函数．

（1）当函数在点处的切线方程为，求函数的解析式；

（2）在（1）的条件下，若是函数的零点，且，求的值；

（3）当时，函数有两个零点，且，求证：．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）详见解析

【解析】

试题（1）先求出的导函数，再根据且可以求得的值进而得函数的解析式；（2）先根据导数研究函数的单调性，再根据零点定理判定出零点所在区间即可求得的值；（3）根据做差先将表示成关于的函数，然后证明即可．

试题解析： （1），所以，

∴函数的解析式为；

（2），

因为函数的定义域为，

令，

当时，，单调递减，

当时，，函数单调递增，

且函数的定义域为，

令，

且时，单调递减，

当时，，单调递增，

且函数至少有1个零点，而，不符合要求，

，

∴，故．

（3）当时，函数，

，两式相减可得

．

，因为，

所以

设，

∴，

所以在上为增函数，且，

∴，又，所以．