【题目】已知函数,
(1)讨论在上的单调性.
(2)当时,若在上的最大值为,讨论:函数在内的零点个数.
【答案】(1)当时,在上单调递增;当时,在上单调递减;(2)个零点
【解析】
(1)求得,根据范围可知,进而通过对的正负的讨论得到函数单调性;
(2)由(1)可得函数在上的单调性,进而利用最大值构造方程求得,得到函数解析式;利用单调性和零点存在定理可确定在上有个零点;令,求导后,可确定在上存在零点,从而得到的单调性,通过单调性和零点存在定理可确定零点个数.
(1)
当时,
当,时,;当,时,
当时,在上单调递增;当时,在上单调递减
(2)由(1)知,当时,在上单调递增
,解得:
在上单调递增,,
在内有且仅有个零点
令,
当时,,,
在内单调递减
又,
,使得
当时,,即;当时,,即
在上单调递增,在上单调递减
在上无零点且
又
在上有且仅有个零点
综上所述:在上共有个零点
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【题目】已知函数.
(1)当函数在点处的切线方程为,求函数的解析式;
(2)在(1)的条件下,若是函数的零点,且,求的值;
(3)当时,函数有两个零点,且,求证:.
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【题目】若定义在R上的函数,其图像是连续不断的,且存在常数使得对任意实数x都成立,则称是一个“k~特征函数”.则下列结论中正确命题序号为____________.
①是一个“k~特征函数”;②不是“k~特征函数”;
③是常数函数中唯一的“k~特征函数”;④“~特征函数”至少有一个零点;
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),为上的动点,点满足,点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为,与的异于极点的交点为,求.
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【题目】在如图所示的多面体ABCDE,AB∥DE,AB⊥AD,△ACD是正三角形.AD=DE=2AB=2,EC=2,F是CD的中点.
(1)求证AF∥平面BCE;
(2)求直线AD与平面BCE所成角的正弦值.
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【题目】如图,与都是边长为2的正三角形,平面平面,平面,.
(1)证明:直线平面
(2)求直线与平面所成的角的大小;
(3)求平面与平面所成的二面角的正弦值.
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【题目】如下图,在四棱锥中,面,,,,,,,为的中点。
(1)求证:面;
(2)线段上是否存在一点,满足?若存在,试求出二面角的余弦值;若不存在,说明理由。
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【题目】如图(1),在平面四边形ABCD中,AC是BD的垂直平分线,垂足为E,AB中点为F,,,,沿BD将折起,使C至位置,如图(2).
(1)求证:;
(2)当平面平面ABD时,求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线经过点,其倾斜角为,以原点为极点,以轴为非负半轴为极轴,与坐标系取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线的极坐标方程为.
(1)若直线与曲线有公共点,求倾斜角的取值范围;
(2)设为曲线上任意一点,求的取值范围.
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