【题目】如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠BCD=120°,四边形BFED为矩形,平面BFED⊥平面ABCD,BF=1.
(1)求证:AD⊥平面BFED;
(2)点P在线段EF上运动,设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ,试求θ的最小值.
【答案】(1)证明见解析 (2)θ最小值为60°
【解析】
(1)在梯形ABCD中,利用勾股定理,得到AD⊥BD,再结合面面垂直的判定,证得DE⊥平面ABCD,即可证得AD⊥平面BFED;
(2)以D为原点,直线DA,DB,DE分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,求得平面PAB与平面ADE法向量,利用向量的夹角公式,即可求解.
(1)证明:在梯形ABCD中,
∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠BCD=120°,∴AB=2.
∴BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos 60°=3.
∴AB2=AD2+BD2,∴AD⊥BD.
∵平面BFED⊥平面ABCD,平面BFED∩平面ABCD=BD,
DE平面BFED,DE⊥DB,∴DE⊥平面ABCD,
∴DE⊥AD,又DE∩BD=D,∴AD⊥平面BFED.
(1)由(1)知,直线AD,BD,ED两两垂直,故以D为原点,直线DA,DB,DE分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
令EP=λ(0≤λ≤),则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,
,0),P(0,λ,1),
所以=(-1,
,0),
=(0,λ-
,1).
设n1=(x,y,z)为平面PAB的法向量,
由得
,取y=1,则n1=(
,1,
-λ).
因为n2=(0,1,0)是平面ADE的一个法向量,
所以cos θ==
=
.
因为0≤λ≤时,cos θ有最大值
,所以θ的最小值为60°.
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【题目】某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表所示:
分类 | 积极参加 班级工作 | 不太主动参 加班级工作 | 总计 |
学习积极性高 | 18 | 7 | 25 |
学习积极性一般 | 6 | 19 | 25 |
总计 | 24 | 26 | 50 |
(1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少?
(2)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关,并说明理由.
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【题目】以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为(
,a为常数)),过点
、倾斜角为
的直线
的参数方程满足
,(
为参数).
(1)求曲线C的普通方程和直线的参数方程;
(2)若直线与曲线C相交于A、B两点(点P在A、B之间),且
,求
和
的值.
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【题目】我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB,对应的圆心角
,该地区为打击洋垃圾走私,在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证
如图:其中海域与陆地近似看作在同一平面内
在圆弧的两端点A,B分别建有监测站,A与B之间的直线距离为100海里.
求海域ABCD的面积;
现海上P点处有一艘不明船只,在A点测得其距A点40海里,在B点测得其距B点
海里
判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD?请说明理由.
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【题目】已知双曲线
的两条渐近线与抛物线
的准线分别交于
,
两点.若双曲线
的离心率为
,
的面积为
,
为坐标原点,则抛物线
的焦点坐标为 ( )
A. B.
C.
D.
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【题目】人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:如图,卫星在以地球的中心为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径(卫星与地心的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设该椭圆的长轴长、焦距分别为,
.某同学根据所学知识,得到下列结论:
①卫星向径的取值范围是
②卫星向径的最小值与最大值的比值越大,椭圆轨道越扁
③卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
④卫星运行速度在近地点时最小,在远地点时最大
其中正确的结论是( )
A.①②B.①③C.②④D.①③④
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【题目】已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且|PF1|<|PF2|,线段PF1的垂直平分线经过点F2,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则的最小值为( )
A.2B.﹣2C.6D.﹣6
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【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,若函数
的导函数
的图象与
轴交于
,
两点,其横坐标分别为
,
,线段
的中点的横坐标为
,且
,
恰为函数
的零点,求证:
.
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