【题目】在四棱锥中,
,
.
(Ⅰ)若点为
的中点,求证:
∥平面
;
(Ⅱ)当平面平面
时,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析; (2).
【解析】
(I)结合平面与平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,结合平面与平面性质,证明结论.(II)建立空间坐标系,分别计算平面PCD和平面PDB的法向量,结合向量数量积公式,计算余弦值,即可.
(Ⅰ)取的中点为
,连结
,
.
由已知得,为等边三角形,
.
∵,
,
∴,
∴,∴
.
又∵平面
,
平面
,
∴∥平面
.
∵为
的中点,
为
的中点,∴
∥
.
又∵平面
,
平面
,
∴∥平面
.
∵,∴平面
∥平面
.
∵平面
,∴
∥平面
.
(Ⅱ)连结,交
于点
,连结
,由对称性知,
为
的中点,且
,
.
∵平面平面
,
,
∴平面
,
,
.
以为坐标原点,
的方向为
轴正方向,建立空间直角坐标系
.
则(0,
,0),
(3,0,0),
(0,0,1).
易知平面的一个法向量为
.
设平面的法向量为
,
则,
,∴
,
∵,
,∴
.
令,得
,∴
,
∴.
设二面角的大小为
,则
.
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【题目】随着“互联网+交通”模式的迅猛发展,“共享单车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度,随机调查了10名用户,得到用户的满意度评分分别为92,84,86,78,89,74,83,77,89.
(1)计算样本的平均数和方差
;
(2)在(1)条件下,若用户的满意度评分在(,
)之间,则满意度等级为“A级”.试估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比.
参考数据:,
,
.
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【题目】《九章算术》中有如下问题:今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长1尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?意思是:今有蒲第一天长高3尺,莞第一天长高1尺,以后蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍.若蒲、莞长度相等,则所需时间为()
(结果精确到0.1.参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771.)
A.2.6天B.2.2天C.2.4天D.2.8天
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【题目】已知函数.
(1)若函数在
,
上单调递增,求实数
的取值范围;
(2)若函数在
处的切线平行于
轴,是否存在整数
,使不等式
在
时恒成立?若存在,求出
的最大值;若不存在,请说明理由.
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【题目】商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量(单位:千克)与销售价格
(单位:元/千克)满足关系式
,其中
,
为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.
(1) 求的值;
(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大
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【题目】为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在55名男性驾驶员中,平均车速超过的有40人,不超过
的有15人;在45名女性驾驶员中,平均车速超过
的有20人,不超过
的有25人.
(1)完成下面的列联表,并判断是否有%的把握认为平均车速超过
的人与性别有关.
平均车速超过 | 平均车速不超过 | 合计 | |
男性驾驶员人数 | |||
女性驾驶员人数 | |||
合计 |
(2)以上述数据样本来估计总体,现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆,记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过的车辆数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列和数学期望.
参考公式与数据:
,其中
.
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