【题目】设函数
(I)讨论的单调性;
(II)若有两个极值点
和
,记过点
的直线的斜率为
,问:是否存在
,使得
?若存在,求出
的值,若不存在,请说明理由.
【答案】:(I)的定义域为
令
当故
上单调递增.
当的两根都小于0,在
上,
,故
上单调递增.
当的两根为
,
当时,
;当
时,
;当
时,
,故
分别在
上单调递增,在
上单调递减.
(II)由(I)知,.
因为,所以
又由(I)知,.于是
若存在,使得
则
.即
.亦即
再由(I)知,函数在
上单调递增,而
,所以
这与
式矛盾.故不存在
,使得
【解析】
【试题分析】(1)先对函数求导,再运用导数与函数的单调性的关系分析讨论函数
的符号,进而运用分类整合思想对实数
进行分
三类进行讨论并判定其单调性,求出单调区间;(2)先假设满足题设条件的参数
存在,再借助题设条件,推得
,即
,亦即
进而转化为判定函数在
上是单调递增的问题,然后借助导数与函数单调性的关系运用反证法进行分析推证,从而作出判断:
解:(Ⅰ)定义域为
,
,
令,
①当时,
,
,故
在
上单调递增,
②当时,
,
的两根都小于零,在
上,
,
故在
上单调递增,
③当时,
,
的两根为
,
当时,
;当
时,
;当
时,
;
故分别在
上单调递增,在
上单调递减.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
因为.
所以,
又由(1)知,,于是
,
若存在,使得
,则
,即
,
亦即(
)
再由(Ⅰ)知,函数在
上单调递增,
而,所以
,这与(
)式矛盾,
故不存在,使得
.
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【题目】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗
(吨)标准煤的几组对照数据
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(1)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
参考公式:
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【题目】设函数f(x)=2ax2+2bx,若存在实数x0∈(0,t),使得对任意不为零的实数a,b均有f(x0)=a+b成立,则t的取值范围是_____.
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【题目】已知为定义在实数集
上的函数,把方程
称为函数
的特征方程,特征方程的两个实根
、
(
),称为
的特征根.
(1)讨论函数的奇偶性,并说明理由;
(2)已知为给定实数,求
的表达式;
(3)把函数,
的最大值记作
,最小值记作
,研究函数
,
的单调性,令
,若
恒成立,求
的取值范围.
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)判断并证明的单调性;
(Ⅱ)是否存在实数,使函数
为奇函数?证明你的结论;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当时,
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=|2x-1|+|x-2a|.
(1)当a=1时,求f(x)≤3的解集;
(2)当x∈[1,2]时,f(x)≤3恒成立,求实数a的取值范围.
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