Question

【题目】已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x－2a|.

(1)当a＝1时，求f(x)≤3的解集；

(2)当x∈[1，2]时，f(x)≤3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集；（2）根据x∈[1，2]得|2x－1|=2x－1，再去绝对值分离变量，最后根据函数最值得实数a的取值范围．

(1)当a＝1时，由f(x)≤3，可得|2x－1|＋|x－2|≤3，

∴①或②或③

解①得0≤x＜，解②得≤x＜2，解③得x＝2.

综上可得，0≤x≤2，即不等式的解集为[0，2]．

(2)∵当x∈[1，2]时，f(x)≤3恒成立，

即|x－2a|≤3－|2x－1|＝4－2x，

故2x－4≤2a－x≤4－2x，

即3x－4≤2a≤4－x.

再根据3x－4在x∈[1，2]上的最大值为6－4＝2，4－x的最小值为4－2＝2，

∴2a＝2，∴a＝1，

即a的取值范围为{1}．