Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，，为椭圆上两点，圆.

（1）若轴，且满足直线与圆相切，求圆的方程；

（2）若圆的半径为2，点，满足，求直线被圆截得弦长的最大值.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）根据题意先计算出点坐标，然后得到直线的方程，根据直线与圆相切，得到半径的大小，从而得到所求圆的方程；（2）先计算斜率不存在时，被圆截得弦长，斜率存在时设为，与椭圆联立，得到和，代入到得到的关系，表示出直线被圆截得的弦长，代入的关系，从而得到弦长的最大值.

解：（1）因为椭圆的方程为，

所以，，

因为轴，所以，

根据对称性，可取，

则直线的方程为，即.

因为直线与圆相切，得，

所以圆的方程为 .

（2）圆的半径为2，可得圆的方程为.

①当轴时，，所以，

得，

此时得直线被圆截得的弦长为.

②当与轴不垂直时，设直线的方程为，

，，

首先由，得，

即，所以（*）.

联立，消去得，

在时，，

代入（*）式，得，

由于圆心到直线的距离为，

所以直线被圆截得的弦长为，

故当时，有最大值为.

综上，因为，

所以直线被圆截得的弦长的最大值为.