Question

【题目】椭圆的右焦点为F到直线的距离为，抛物线的焦点与椭圆E的焦点F重合，过F作与x轴垂直的直线交椭圆于S，T两点，交抛物线于C，D两点，且．

（1）求椭圆E及抛物线G的方程;

（2）过点F且斜率为k的直线l交椭圆于A，B点，交抛物线于M，N两点，如图所示，请问是否存在实常数，使为常数，若存在，求出的值;若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）椭圆方程为，抛物线G的方程为；（2）存在，理由见解析.

【解析】

（1）设椭圆于抛物线的公共焦点，根据右焦点F到直线的距离为，得到，解得，再由，即，解得a，b即可.

（2）设，直线l的方程与椭圆方程，抛物线方程分别联立，利用弦长公式分别求得 ，，代入分析求解.

（1）设椭圆与抛物线的公共焦点，

因为F到直线的距离为，

所以，

解得，所以，，

因为，所以，

所以，又，

解得，

所以椭圆方程为，抛物线G的方程为.

（2）设，

设直线l的方程为：，与椭圆方程联立消去y得：，

所以，

所以.

直线l的方程与抛物线方程联立消去y得：

，

所以，

所以，

所以，

要使为常数，则，解得.

故存在使得为常数.