Question

【题目】已知正四棱锥的底面边长为高为其内切球与面切于点，球面上与距离最近的点记为，若平面过点，且与平行，则平面截该正四棱锥所得截面的面积为______.

Answer 1

【答案】

【解析】

取中点，连，取中点，连，则平面，根据已知可得为正三角形，正棱锥内切球的球心为正的内心，与面切于点为中点，球面上与距离最近的点为与球面的交点，即在之间且长为内切球的半径，连并延长交于，平面过与平行，可得平面分别与平面、平面的交线为过与平行的直线，即可得到截面为梯形，根据长度关系，即可求解.

取中点，连，取中点，连，

则，为正方形的中心，四棱锥是正四棱锥，

所以平面，，

在中，，

同理，所以为正三角形，

所以正四棱锥内切球的球心为正的内心，

内切球的半径是正的内切圆半径为，

内切球与平面的切点为正内切圆与直线的切点，

所以为中点，球面上与距离最近的点为连与球面的交点，

即在之间，且，因此为中点，

连并延长交于，平面过与直线平行，

设平面分别与平面、平面交于，

因为平面，所以，又因为，，

所以，同理可证，所以，连，

则梯形为所求的截面，因为，

，所以平面平面，

所以，所以，

连，则为的角平分线，所以，

又因为分别为的中点，所以，

所以，而，所以，

所以，

又，所以，

所以截面梯形的面积.

故答案为：.