Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB=4，G为PD的中点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（I）求证：AG∥平面PEC；
（Ⅱ）求三棱锥G-PEC的体积．

Answer 1

解：（I）过点E作EH⊥PC于H，
∵平面PEC⊥平面PDC，平面PEC∩平面PDC=PC．
∴EH⊥平面PDC
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA
∵正方形ABCD中CD⊥AD，PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD，结合AG?平面PAD，得CD⊥AG
∵△PAD中，PA=AD，G为PD中点，∴PD⊥AG，
∵PD、CD是平面PDC内的相交直线，∴AG⊥平面PDC
∵AG、EH同时垂直于平面PDC，∴AG∥EH
∵EH?平面PEC，AG?平面PEC，
∴AG∥平面PEC；
（II）连接GH，设EH、AG确定的平面为α，则α∩平面PDC=GH
∵AE∥CD，AB?平面PDC，CD?平面PDC，∴AE∥平面PDC
∵AE?平面α，α∩平面PDC=GH，
∴AE∥GH，得四边形AEHG是平行四边形，所以EH=AG
∵等腰Rt△PAD中，PA=PD=4，AG是PD边上的中线，∴PD=4，AG=PD=2，
∵Rt△PDC中，PD=4，CD=4，∴S_△PDC=×4×4=8
∵CG是△PDC的中线，∴S_△PGC=S_△PDC=4
∵EH⊥平面PDC，得EH是三棱锥G-PEC的高
∴三棱锥G-PEC的体积为：V=×S_△PGC×EH=×4×2=
分析：（I）过点E作EH⊥PC于H，由面面垂直的性质定理可得EH⊥平面PDC．根据线面垂直的判定与性质，得到AG⊥平面PDC，从而得到AG∥EH，最后结合线面平行判定定理，证出AG∥平面PEC；
（II）连接GH，设EH、AG确定的平面为α，得GH是平面α与平面PDC的交线，由线面平行的判定与性质证出AE∥GH，可得四边形AEHG是平行四边形，所以EH=AG．等腰Rt△PAD中，算出AG=PD=2，Rt△PDC中，算出S_△PGC=S_△PDC=4，最后利用锥体体积公式，即可算出三棱锥G-PEC的体积．
点评：本题给出四棱锥，求证线面平行并求锥体体积，着重考查了直线与平面平行的判定、平面与平面垂直的判定与性质和锥体体积的求法等知识，属于中档题．