Question

12．已知a＞0，b＞0，若不等式$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$≥$\frac{k}{2a+b}$恒成立，则k的最大值等于（　　）

• A． 10
• B． 9
• C． 8
• D． 7

Answer 1

分析 不等式式$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$≥$\frac{k}{2a+b}$恒成立，等价于k≤[（2a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）]_min，由于（2a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）=4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$，运用基本不等式可得最小值，即可得到k的最大值．

解答 解：由于a＞0，b＞0，所以2a+b＞0，
故不等式$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$≥$\frac{k}{2a+b}$等价于k≤（2a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$），
不等式式$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$≥$\frac{k}{2a+b}$恒成立，等价于k≤[（2a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）]_min，
由于（2a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）=4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥4+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$=8，
（当且仅当2a=b时“=”成立），
故k≤8．
故选：C．

点评 本题主要考查了恒成立问题与最值的求解的相互转化，解题的关键是配凑基本不等式成立的条件．