Question

已知椭圆C₁，抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：

x	3	-2	4	2
y	-2 3	0	-4	2 2

（Ⅰ）求C₁、C₂的标准方程；
（Ⅱ）若过曲线C₁的右焦点F₂的任意一条直线与曲线C₁相交于A、B两点，试证明在x轴上存在一定点P，使得

PA

•

PB

的值是常数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）验证4个点知（3，-2

3

），（4，-4）在抛物线上，（-2，0），（

2

，

2

2

）在椭圆上，由此可求C₁、C₂的标准方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用

PA

•

PB

=（x_A-t）（x_B-t）+y_Ay_B，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），则有

y2

x

=2p(x≠0)，
据此验证4个点知（3，-2

3

），（4，-4）在抛物线上，∴C₂的标准方程为y²=4x．…（2分）
设C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，把点（-2，0），（

2

，

2

2

）代入得：

4 a2 =1 2 a2 + 1 2b2 =1

，解得

a2=4 b2=1

．
∴C₁的标准方程为

x2

4

+y2=1．…（6分）
（Ⅱ）①当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y=k（x-

3

），代入椭圆方程，消去y可得（1+4k²）x²-8

3

k²x+12k²-4=0，则
x_A+x_B=

8 3 k2

1+4k2

，x_Ax_B=

12k2-4

1+4k2

．…（8分）
设点P（t，0），则

PA

•

PB

=（x_A-t）（x_B-t）+y_Ay_B=

t2-4+(11-8 3 t+4t2)k2

1+4k2

．…（10分）
当

t2-4

1

=

11-8 3 t+4t2

4

，即t=

9 3

8

时，对任意k∈R，

PA

•

PB

=-

13

64

．…（12分）
②当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=

3

，x_A=x_B=

3

，y_Ay_B=-

1

4

．
若t=

9 3

8

，则

PA

•

PB

=（x_A-t）（x_B-t）+y_Ay_B=-

13

64

故存在x轴上的点P（

9 3

8

，0），使得

PA

•

PB

的值是常数-

13

64

．…（13分）

点评：本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．