【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)过点A(2,0),B(0,1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率;
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A的坐标为(﹣a,0),点 Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且 =4,求y0的值.
【答案】
(1)解:由题意得,椭圆C: =1(a>b>0)焦点在x轴上,
过点A(2,0),B(0,1)两点.
∴a=2,b=1.
∴椭圆C的方程为 ;
又c= = ,
∴离心率e= =
(2)解:由(1)可知A(﹣2,0).
设B点的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2).
于是A,B两点的坐标满足方程组 ,
由方程组消去y并整理,得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2﹣4)=0.
由﹣2x1= ,得x1= .
从而y1= .
设线段AB的中点为M,
则M的坐标为(﹣ , ).
以下分两种情况:
① 当k=0时,点B的坐标为(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴,于是 =(﹣2,﹣y0), =(2,﹣y0).
由 =4,得y0=±2 .
②当k≠0时,线段AB的垂直平分线方程为
y﹣ =﹣ (x+ ).
令x=0,解得y0=﹣ .
由 =(﹣2,﹣y0), =(x1,y1﹣y0).
=﹣2x1﹣y0(y1﹣y0)
= + ( + )
= =4,
整理得7k2=2,故k=± .所以y0=± .
综上,y0=±2 或y0=±
【解析】(1)由题意可知:焦点在x轴上,过点A(2,0),B(0,1)两点,则a=2,b=1.c= = ,离心率e= = ;即可求得椭圆C的方程及离心率;(2)设直线l的方程为y=k(x+2),代入椭圆方程,由韦达定理,中点坐标公式,求得中点M的坐标,分类,①当k=0时,点B的坐标为(2,0),由 =4,得y0=±2 .②当k≠0时,线段AB的垂直平分线方程为y﹣ =﹣ (x+ ).向量的数量积的坐标表示.即可求得求得y0的值.
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【题目】在如图所示的空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,则图中共有多少对线面平行关系?( )
A.2对
B.4对
C.6对
D.8对
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【题目】如图,三棱柱中, , , 分别为棱的中点.
(1)在平面内过点作平面交于点,并写出作图步骤,但不要求证明.
(2)若侧面侧面,求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是( )
A.=(0,0) =(1,﹣2)
B.=(﹣1,2) =(3,7)
C.=(3,5) =(6,10)
D.=(2,﹣3) =( ,﹣ )
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【题目】已知向量 =(sinx,﹣1), =(2cosx,1).
(1)若 ∥ ,求tanx的值;
(2)若 ⊥ ,又x∈[π,2π],求sinx+cosx的值.
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【题目】己知直线2x+y﹣8=0与直线x﹣2y+1=0交于点P.
(1)求过点P且平行于直线4x﹣3y﹣7=0的直线11的方程;(结果都写成一般方程形式)
(2)求过点P的所有直线中使原点O到此直线的距离最大的直线12的方程.
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