Question

11．已知$f（x）=\frac{{a•{2^x}+a-2}}{{{2^x}+1}}$（x∈R），若f（x）满足f（-x）+f（x）=0，
（1）求实数a的值及f（3）；
（2）判断函数的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）由题意和奇函数的定义判断出f（x）是奇函数，根据奇函数的性质得：f（0）=0，列出方程求出a的值，代入f（x）求出f（3）；
（2）先判断出函数的单调性，根据函数单调性的定义，以及步骤：取值、作差、变形、定号、下结论进行证明即可．

解答 解：（1）∵f（-x）+f（x）=0，且x∈R，
∴函数f（x）是奇函数，则f（0）=$\frac{a•{2}^{0}+a-2}{{2}^{0}+1}$=0，
解得a=1，则$f（x）=\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
所以f（3）=$\frac{{2}^{3}-1}{{2}^{3}+1}$=$\frac{7}{9}$；
证明：（2）f（x）是R上的增函数，设x₁＜x₂，
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{{2}^{{x}_{1}}-1}{{2}^{{x}_{1}}+1}-\frac{{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$
=$\frac{（{2}^{{x}_{2}}+1）（{2}^{{x}_{1}}-1）-（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$
=2•$\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$＜0，
∵${2}^{{x}_{1}}+1$＞0，且${2}^{{x}_{2}}+1＞0$，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是增函数．

点评 本题考查了奇函数的定义与性质，函数单调性的定义，以及证明单调性的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论，考查化简、变形能力．