Question

已知向量

α

=（

3

cosx+

3

sinx，cosx），

β

=（cosx-sinx，2sinx），f（x）=

α

•

β

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）a，b，c分别△ABC的三内角A，B，C的对应边，且f（A）=-

3

，b=2c，a=2

5

，求S_△ABC．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简f（x）的解析式为2sin（2A+

π

3

），由此求得最小正周期．由

2kπ- π 2 ≤2x+ π 3 ≤2kπ+ π 2 (k∈Z)

，求得f（x）单调区间．
（2）由f（A）=-

3

 解得sin（2A+

π

3

）=-

3

2

．再由A的范围可得2A+

π

3

=

4π

3

 或2A+

π

3

=

5π

3

，从而求出A的值，
再由余弦定理求出c的值，代入S_△ABC=

1

2

bc•sinA运算求得结果．

解答：解：（1）f（x）=

α

•

β

=（

3

cosx+

3

sinx）（cosx-sinx）+cosx2sinx
=

3 (cos2x-sin2x)+2sinxcosx=sin2x+ 3 cos2x=2sin(2x+ π 3 )

，
故最小正周期T=

2π

2

=π．
令

2kπ- π 2 ≤2x+ π 3 ≤2kπ+ π 2 (k∈Z)

，解得

kπ- 5π 12 ≤x≤kπ+ π 12

，k∈Z．
故f（x）单调区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）．
（2）由f（A）=-

3

，可得 2sin（2A+

π

3

）=-

3

，sin（2A+

π

3

）=-

3

2

．
由于 0＜A＜π，∴

π

3

＜2A+

π

3

＜

7π

3

，∴2A+

π

3

=

4π

3

 或2A+

π

3

=

5π

3

．
解得 A=

π

2

 或A=

2π

3

．
当 A=

π

2

 时，由勾股定理可得 20=b²+c²=5c²，∴c=2，故S_△ABC=

1

2

×2×4=4．
当 A=

2π

3

 时，由余弦定理可得 20=b²+c²-2bc•cos

2π

3

=7c²，
故 S_△ABC=

1

2

bc•sin

2π

3

=

3

2

c2=

10 3

7

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的周期性和单调性，余弦定理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．