Question

已知向量

a

=(

3

cosx-

3

，sinx)，

b

=(1+cosx，cosx)，设f(x)=

a

•

b

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[-

π

3

，

π

6

]时，求函数f（x）的值域；
（3）求f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积，二倍角公式、两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，直接求f（x）的最小正周期；
（2）x∈[-

π

3

，

π

6

]，求出2x+

π

3

的范围，然后求函数f（x）的值域；
（3）利用正弦函数的单调增区间，直接求出f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=

3

(cosx-1)(1+cosx)+sinxcosx
=-

3

sin2x+sinxcosx=-

3

2

(1-cos2x)+

1

2

sin2x
=-

3

2

+sin(2x+

π

3

)（4分）
f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．（6分）
（2）当x∈[-

π

3

，

π

6

]时，(2x+

π

3

)∈[-

π

3

，

2π

3

]，sin(2x+

π

3

)∈[-

3

2

，1]
∴f(x)∈[-

3

，1-

3

2

]（11分）
（3）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z
∵x∈[0，π]
∴f（x）的单调增区间为[0，

π

12

]和[

7π

12

，π]（14分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，周期的求法，向量的数量积的应用，三角函数的单调性，考查计算能力，常考题型．