Question

【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD为正方形,PD=DC=2,E,F,G分别是AB,PB,CD的中点.

(1)求证:EF⊥DC;

(2)求证:GF∥平面PAD;

(3)求点G到平面PAB的距离.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

(1)根据直线的垂直关系，得到线面垂直；再根据中位线得到线线平行，进而得到线线垂直。

(2)建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，利用直线与法向量的垂直关系，判断直线与平面的平行关系。

(3)利用向量的坐标，判断出直线GF⊥平面PAB，进而求得点到平面的距离。

(1)证明∵PD⊥DC,DC⊥AD,AD∩PD=D,

∴DC⊥平面PAD.

∵AP平面ABCD,∴DC⊥AP.

∵E,F分别是PB和AB的中点,EF是三角形PAB的中位线,EF∥AP,∴EF⊥CD.

(2)证明如图,以D为原点,DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(2,1,0),F(1,1,1),G(0,1,0).

∵=(0,2,0)为平面PAD的一个法向量,=(1,0,1),

∴=1×0+0×2+1×0=0.

∴.

∵GF平面PAD,∴GF∥平面PAD.

(3)解∵=(1,0,1),=(0,2,0),=(2,0,-2),

∴=0,=0,即GF⊥AB,GF⊥PA.

∵AB∩PA=A,∴GF⊥平面PAB,垂足为F.

∵||=,

∴点G到平面PAB的距离为.