Question

设0＜a＜1，f(logax)=

a(x2-1)

(a2-1)x

，
（Ⅰ）求f（x）的表达式，并指出其奇偶性、单调性（不必写出证明过程）；
（Ⅱ）解关于x的不等式：f（a^x）+f（-2）＞f（2）+f（-a^x）
（Ⅲ）（理）当n∈N时，比较f（n）与n的大小．
（文）若f（x）-4的值仅在x＜2时取负数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令t=log_ax，则x=a^t，∴f(t)=

a(a2t-1)

(a2-1)at

，从而可得函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）问题等价于f（a^x）＞f（2），从而a^x＞2，由于0＜a＜1，∴x＜log_a2；
（Ⅲ）将问题转化为f（n）=

1

2an

[(a+a2n-1)+(a3+a2n-3)+…+（a^2n-1+a）]，再利用基本不等式可知＞

1

2an

•n•2an=n(∵0＜a＜1)，从而有f（n）≥n；若f（x）-4的值仅在x＜2时取负数等价于f（x）＜4时x＜2恒成立，从而可解．

解答：解：（Ⅰ）令t=log_ax，则x=a^t，∴f(t)=

a(a2t-1)

(a2-1)at

，∴f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x），x∈R．（2分）     
∵f（-x）=f（x），∴奇函数．∵0＜a＜1，∴函数为增函数（2分）
（Ⅱ）∵f（a^x）-f（2）＞f（2）-f（a^x）
∴f（a^x）＞f（2），a^x＞2，
∵0＜a＜1，∴x＜log_a2（4分）
（Ⅲ）（理料）f（1）=1，（1分）
当n≥2时，f（n）=

1

an

•

a[1-(a2)n]

1-a2

=

1

an

(a+a3+a5+…a^2n-1，）
=

1

2an

[(a+a2n-1)+(a3+a2n-3)+…+（a^2n-1+a）]＞

1

2an

•n•2an=n(∵0＜a＜1)（5分）
或用数学归纳法证明：f（k+1）=af（k）+a^-k＞ak+ak^-k∵0＜a＜1，
∴可令

1

a

=1+α，α＞0，∴ka+a-k＞ka+(1+α)n≥ka+1+kα=k(a+

1

a

-1)+1＞k+1
（文科）∵f(x)＜4?x＜2?f(x)＜f(2)∴f(2)=4，a=2-

3

（6分）

点评：本题主要考查函数解析式的求解及函数性质的判断，同时考查利用基本不等式进行大小比较，有一定的综合性．