Question

已知f（x）=

a

3

x³+

b

2

x²+cx，g（x）=mx²+

15

4

x-9．当a=3，b=c=0时，若存在过点（1，0）的直线与曲线y=f（x）和y=g（x）都相切，求实数m的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：分别求出f（x），g（x）的导数，设出切点，求得切线的斜率，运用两点的斜率公式和点在曲线上的条件，解方程即可得到m．

解答： 解：当a=3，b=c=0时，f（x）=x³，f′（x）=3x²，
g（x）的导数为g′（x）=2mx+

15

4

，
设过点（1，0）的切线与y=f（x）的切点为（e，f），与y=g（x）的切点为（s，t），
则3e²=2ms+

15

4

，
由e³=f，3e²=

f

e-1

=

e3

e-1

，解得e=0或

3

2

，
则切线的方程为y=0或y=

27

4

（x-1）．
若e=0，则ms=-

15

8

，且t=ms²+

15

4

s-9，

t

s-1

=0，
解得t=0，s=

24

5

，m=-

25

64

；
若e=

3

2

，则ms=

3

2

，且t=ms²+

15

4

s-9，

t

s-1

=

27

4

，
解得s=-

3

2

，m=-1．
综上可得，m=-

25

64

或m=-1．

点评：本题考查导数的几何意义：函数在某点的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，正确设出切点和求出导数，运用两点的斜率公式是解题的关键．