Question

已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），g（x）=2x+b，且对于任意x∈R，恒有g（x）≤f（x）．
（1）证明：c≥1，c≥|b|
（2）设函数h（x）满足：f（x）+h（x）=（x+c）²．证明：函数h（x）在（0，+∞）内没有零点．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由△≤0可得c≥1，再由不等式的性质可得c≥|b|；
（2）只需证明h（x）在x∈（0，+∞）上恒大于0即可．

解答： 证明：（1）根据题意，可得：
任意x∈R，恒有x²+bx+c-（2x+b）≥0，
所以（b-2）²-4（c-b）≤0，
则c≥

b2

4

+1≥1，
同时c≥

b2

4

+1≥2

b2 4 ×1

=

.

b

.

．
故c≥1，c≥|b|；
（2）由题可知h（x）=（x+c）²-（x²+bx+c）
=（2c-b）x+c（c-1）
又x＞0，
所以（2c-b）x+c（c-1）＞c（c-1）≥0，
即h（x）＞0，
故函数h（x）在（0，+∞）内没有零点．

点评：本题考查函数及不等式的性质，比较△与0的大小关系是解题的关键．