Question

12．若直线ax+by+1=0（ab＞0）被圆（x+4）²+（y+1）²=16截得的弦长为8，则$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为（　　）

• A． 8
• B． 12
• C． 16
• D． 20

Answer 1

分析 由题意直线ax+by+1=0（其中a＞0且b＞0）经过圆心（-4，-1），从而4a+b=1，进而$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）（4a+b），由此能求出$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值．

解答 解：∵直线ax+by+1=0（ab＞0）被圆（x+4）²+（y+1）²=16截得的弦长为8，
∴直线ax+by+1=0（其中a＞0且b＞0）经过圆心（-4，-1），
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）（4a+b）
=$\frac{16a}{b}+\frac{b}{a}+8$
≥2$\sqrt{\frac{16a}{b}•\frac{b}{a}}$+8=16．
当且仅当$\frac{16a}{b}=\frac{b}{a}$时，取等号，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为16．
故选：C．

点评 本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质和基本不等式的合理运用．