Question

3．若函数f（x）=ax³-x²+bx（a，b∈R）．当x=3时，f（x）有极小值-9．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f'（x）+（6m-8）x+4，h（x）=mx，当m＞0时，对于任意x，g（x）和h（x）的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，得到方程组，求出a，b，从而求出函数表达式；
（2）求出g（x）的表达式，利用二次函数的图象和性质，分别对函数g（x）和h（x）的值进行讨论，建立条件关系即可得到结论围；

解答 解：（1）由f′（x）=3ax²-2x+b，因为函数在x=3时有极小值-9，
∴$\left\{\begin{array}{l}{27a-6+b=0}\\{27a-9+3b=-9}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
所求的f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，
（2）由f′（x）=x²-2x-3，故g（x）=x²-2x+（6m-8）x+1，
当m＞0时，
①若x＞0，则h（x）=mx＞0，满足条件；
②若x=0，则g（0）=1＞0，满足条件；
③若x＜0，h（x）＜0，只需g（x）＞0恒成立，
6m-8＜-$\frac{1}{x}$-x+2恒成立，
∵-$\frac{1}{x}$-x+2≥4，当且仅当x=-1取等号，
所以6m-8＜4，0＜m＜2，
即m的取值范围是（0，2）；

点评 本题考查了导数与极值得转换关系，函数的值域，考查了转化思想，分类讨论，属于中档题