【题目】如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,,
平面ABCD,
,且
.
(1)求直线AD和平面AEF所成角的大小;
(2)求二面角E-AF-D的平面角的大小.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)根据线段的垂直关系,建立空间直角坐标系,计算直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值,即可计算出线面角的大小;
(2)计算两个平面的法向量,通过平面法向量的夹角的余弦值,计算出二面角的大小.
解:(1)因为,所以B,E,F,D四点共面,
因为四边形ABCD是菱形,所以,设AC与BD的交点为O,
以O为坐标原点,OA,OB以及垂直于平面ABC的方向为x,y,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz如图所示,
则,
,
设为平面AEF的一个法向量,
则有:,即
,令
可得,
设直线AD和平面AEF所成角为,则
,
所以直线AD和平面AEF所成角为.
(2)由(1)可知,平面AEF的一个法向量为
设为平面ADF的一个法向量,
则有:,即
,令
可得,
,
,
所以二面角E-AF-D的平面角为.
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【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
,
,左顶点为
,离心率为
,点
是椭圆上的动点,
的面积的最大值为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设经过点的直线
与椭圆
相交于不同的两点
,
,线段
的中垂线为
.若直线
与直线
相交于点
,与直线
相交于点
,求
的最小值.
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【题目】新个税法于2019年1月1日进行实施.为了调查国企员工对新个税法的满意程度,研究人员在地各个国企中随机抽取了1000名员工进行调查,并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图,其中
.
(Ⅰ)估计被调查的员工的满意程度的中位数;(计算结果保留两位小数)
(Ⅱ)若按照分层抽样从,
中随机抽取8人,再从这8人中随机抽取4人,记分数在
的人数为
,求
的分布列与数学期望;
(Ⅲ)以频率估计概率,若该研究人员从全国国企员工中随机抽取人作调查,记成绩在
,
的人数为
,若
,求
的最大值.
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【题目】已知甲、乙、丙三位同学在某次考试中总成绩列前三名,有,
,
三位学生对其排名猜测如下:
:甲第一名,乙第二名;
:丙第一名;甲第二名;
:乙第一名,甲第三名.成绩公布后得知,
,
,
三人都恰好猜对了一半,则第一名是__________.
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【题目】某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况,统计了某个送外卖小哥某天从9:00到21:00这个时间段送的50单外卖.以2小时为一时间段将时间分成六段,各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如下表,各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如下图.
时间区间 | ||||||
每单收入(元) | 6 | 5.5 | 6 | 6.4 | 5.5 | 6.5 |
(Ⅰ)求频率分布直方图中的值,并求这个外卖小哥送这50单获得的收入;
(Ⅱ)在这个外卖小哥送出的50单外卖中男性订了25单,且男性订的外卖中有20单带饮品,女性订的外卖中有10单带饮品,请完成下面的列联表,并回答是否有
的把握认为“带饮品和男女性别有关”?
带饮品 | 不带饮品 | 总计 | |
男 | |||
女 | |||
总计 |
附:
0.050 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】已知F为抛物线的焦点,过F且倾斜角为
的直线交抛物线于A,B两点,
.
(1)求抛物线的方程:
(2)已知为抛物线上一点,M,N为抛物线上异于P的两点,且满足
,试探究直线MN是否过一定点?若是,求出此定点;若不是,说明理由.
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【题目】已知半圆:
,
、
分别为半圆
与
轴的左、右交点,直线
过点
且与
轴垂直,点
在直线
上,纵坐标为
,若在半圆
上存在点
使
,则
的取值范围是( )
A. B.
C. D.
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【题目】(本题满分12分)袋中装有黑色球和白色球共7个,从中任取2个球都是白色球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸出1个球,甲先摸,乙后摸,然后甲再摸,……,摸后均不放回,直到有一人摸到白色球后终止.每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的,用X表示摸球终止时所需摸球的次数.
(1)求随机变量X的分布列和均值E(X);
(2)求甲摸到白色球的概率.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=2,AB//DC,AB=2CD,∠BCD=90°.
(1)求证:AD⊥PB;
(2)求点C到平面PAB的距离.
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