Question

【题目】已知F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，.

（1）求抛物线的方程：

（2）已知为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）过定点，

【解析】

(1)设出直线的方程，联立抛物线的方程，根据韦达定理即可求解出的值，即可求解出抛物线的方程；

(2)求解出点坐标，设出直线的方程，根据求解出之间的关系，从而确定出直线所过的定点.

解：（1）由已知，直线AB的方程为

联立直线与抛物线，消y可得，，所以，

因为，所以，

即抛物线的方程为.

（2）将代入可得，

不妨设直线MN的方程为,

联立，消x得，

则有，

由题意,

化简可得，，

代入

此时直线MN的方程为，

所以直线MN过定点.