【题目】已知等轴双曲线:
的右焦点为
,
为坐标原点,过
作一条渐近线的垂线
且垂足为
,
.
(1)求等轴双曲线的方程;
(2)若过点且方向向量为
的直线
交双曲线
于
、
两点,求
的值;
(3)假设过点的动直线
与双曲线
交于
、
两点,试问:在
轴上是否存在定点
,使得
为常数,若存在,求出
的坐标,若不存在,试说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)定点
.
【解析】
(1)根据双曲线焦点到渐近线的距离为和等轴双曲线的性质,求得等轴双曲线
的方程.
(2)由直线的方向向量求得直线
的斜率,由此写出直线
的方程.联立直线
的方程和双曲线的方程,写出韦达定理,求得
,
,由此求得
的值.
(3)设,设出直线
的方程,与双曲线方程联立,写出韦达定理,代入
进行化简,结合
为常数列方程,解方程求得
点的坐标.
(1)双曲线焦点到渐近线的距离为,所以
,所以等轴双曲线
的方程为
.且
.
(2)由于直线的方向行向量为
,所以直线
的斜率为
,而
,所以
:
,与
联立方程并化简得
,可得
,
,
即.
(3)设点
.依题意可知直线
与
不平行,设直线
,与
联立方程有
,
可得,
,∴
,
,
,要为定值,
需满足,∴
,即定点
.
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【题目】设关于的一元二次方程
.
(1)若是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数,
是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;
(2)若是从区间
上任取的一个数,
是从区间
上任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
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【题目】已知甲、乙、丙三位同学在某次考试中总成绩列前三名,有,
,
三位学生对其排名猜测如下:
:甲第一名,乙第二名;
:丙第一名;甲第二名;
:乙第一名,甲第三名.成绩公布后得知,
,
,
三人都恰好猜对了一半,则第一名是__________.
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【题目】已知F为抛物线的焦点,过F且倾斜角为
的直线交抛物线于A,B两点,
.
(1)求抛物线的方程:
(2)已知为抛物线上一点,M,N为抛物线上异于P的两点,且满足
,试探究直线MN是否过一定点?若是,求出此定点;若不是,说明理由.
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【题目】已知半圆:
,
、
分别为半圆
与
轴的左、右交点,直线
过点
且与
轴垂直,点
在直线
上,纵坐标为
,若在半圆
上存在点
使
,则
的取值范围是( )
A. B.
C. D.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
,直线l的方程为:
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知直线l与椭圆相交于
、
两点
①若线段中点的横坐标为
,求斜率
的值;
②已知点,求证:
为定值
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【题目】(本题满分12分)袋中装有黑色球和白色球共7个,从中任取2个球都是白色球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸出1个球,甲先摸,乙后摸,然后甲再摸,……,摸后均不放回,直到有一人摸到白色球后终止.每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的,用X表示摸球终止时所需摸球的次数.
(1)求随机变量X的分布列和均值E(X);
(2)求甲摸到白色球的概率.
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【题目】已知U=R且A={x|a2x2-5ax-6<0},B{x||x-2|≥1}.
(1)若a=1,求(UA)B;
(2)求不等式a2x2-5ax-6<0(a∈R)的解集.
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【题目】2014年7月18日15时,超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计,本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元,适逢暑假,小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失,作出如下频率分布直方图:
经济损失4000元以下 | 经济损失4000元以上 | 合计 | |
捐款超过500元 | 30 | ||
捐款低于500元 | 6 | ||
合计 |
(1)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的50户居民捐款情况如上表,在表格空白处填写正确数字,并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关?
(2)台风造成了小区多户居民门窗损坏,若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修,李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区,张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区,求连续3天内,李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列和数学期望.
附:临界值表
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 | |
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
参考公式:,
.
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