【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , 已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N* .
(1)求通项公式an;
(2)求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和.
【答案】
(1)
解:∵S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.
∴a1+a2=4,a2=2S1+1=2a1+1,
解得a1=1,a2=3,
当n≥2时,an+1=2Sn+1,an=2Sn﹣1+1,
两式相减得an+1﹣an=2(Sn﹣Sn﹣1)=2an,
即an+1=3an,当n=1时,a1=1,a2=3,
满足an+1=3an,
∴ =3,则数列{an}是公比q=3的等比数列,
则通项公式an=3n﹣1
(2)
解:an﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2,
设bn=|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|,
则b1=|30﹣1﹣2|=2,b2=|3﹣2﹣2|=1,
当n≥3时,3n﹣1﹣n﹣2>0,
则bn=|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2,
此时数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和Tn=3+ ﹣
=
,
则Tn= .
【解析】(1)根据条件建立方程组关系,求出首项,利用数列的递推关系证明数列{an}是公比q=3的等比数列,即可求通项公式an;(2)讨论n的取值,利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和.本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算,根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{an}是等比数列是解决本题的关键.求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和.
【考点精析】认真审题,首先需要了解数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式).
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【题目】已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).
(1)设a=2,b= .
①求方程f(x)=2的根;
②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)﹣6恒成立,求实数m的最大值;
(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)﹣2有且只有1个零点,求ab的值.
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【题目】在四棱锥P-ABC中,底面ABCD为平行四边形,,O为AC的中点,
平面
M为PD的中点。
(1)证明平面
.
(2)证明平面
.
(3)求三棱锥P-MAC体积.
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【题目】如图,点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+1 , n∈N* , |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+1 , n∈N* , (P≠Q表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则( )
A.{Sn}是等差数列
B.{Sn2}是等差数列
C.{dn}是等差数列
D.{dn2}是等差数列
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【题目】某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
单价x(元) | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
销量y(件) | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
(1)求回归直线方程=bx+a;(其中
,
,
,
,
);
(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)
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【题目】如图,在三棱台ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求证:BF⊥平面ACFD;
(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.
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【题目】已知圆:
,一动直线l过
与圆
相交于
.两点,
是
中点,l与直线m:
相交于
.
(1)求证:当l与m垂直时,l必过圆心;
(2)当时,求直线l的方程;
(3)探索是否与直线l的倾斜角有关,若无关,请求出其值;若有关,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=ln(x﹣1)+ (a∈R).
(1)若函数f(x)在区间(1,4)上单调递增,求a的取值范围;
(2)若函数y=f(x)的图象与直线4x﹣3y﹣2=0相切,求a的值.
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【题目】如图1,在高为2的梯形中,
,
,
,过
、
分别作
,
,垂足分别为
、
。已知
,将梯形
沿
、
同侧折起,得空间几何体
,如图2。
(1)若,证明:
;
(2)若,证明:
;
(3)在(1),(2)的条件下,求三棱锥的体积。
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