Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N* ．
（1）求通项公式an；
（2）求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．

∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，

解得a1=1，a2=3，

当n≥2时，an+1=2Sn+1，an=2Sn﹣1+1，

两式相减得an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an，

即an+1=3an，当n=1时，a1=1，a2=3，

满足an+1=3an，

∴ =3，则数列{an}是公比q=3的等比数列，

则通项公式an=3n﹣1

（2）

解：an﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，

设bn=|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，

则b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，

当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，

则bn=|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，

此时数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和Tn=3+ ﹣ = ，

则Tn= ．

【解析】（1）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列{an}是公比q=3的等比数列，即可求通项公式an；（2）讨论n的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和．本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{an}是等比数列是解决本题的关键．求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)．