Question

【题目】已知函数f（x）=ln（x﹣1）+ （a∈R）．
（1）若函数f（x）在区间（1，4）上单调递增，求a的取值范围；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线4x﹣3y﹣2=0相切，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=ln（x﹣1）+ ，

则f′（x）= ，

∵函数f（x）在区间（1，4）上单调递增，

∴ 在x∈（1，4）上恒成立．

即a≥ 在x∈（1，4）上恒成立．

令g（x）= ，则g′（x）= ．

当x∈（1，3）时，g′（x）＞0，当x∈（3，4）时，g′（x）＜0．

∴g（x）在（1，3）上为增函数，在（3，4）上为减函数，

∴g（x）max=g（3）=﹣8．

则a≥﹣8；

（2）解：设切点坐标为（x0，y0），则f′（x0）= ，

则 ，①

f（x0）= ，②

联立①，②解得：x0=2，a=3

【解析】（1）求出原函数的导函数，由题意可得f′（x）≥对任意x∈（1，4）恒成立，分离参数a，可得a≥ ，利用导数求出函数g（x）= 在（1，4）上的最大值得答案；（2）设出切点坐标，求出函数在切点处的导数，可得切线斜率，再由两函数在切点处的函数值相等求得a的值．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．