Question

【题目】解答题
（1）求函数f（x）=xlnx﹣（1﹣x）ln（1﹣x）在0＜x≤ 上的最大值；
（2）证明：不等式x1﹣x+（1﹣x）x≤ 在（0，1）上恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=1+ln（1﹣x）+2，

令f′（x）=0，解得：x= ﹣ （记为x0），

则f（x）在（0，x0）递减，在（x0， ]递增，

x→0+时，f′（x）→0，f（π）≤f（ ）=0，即xlnx﹣（1﹣x）ln（1﹣x）≤0，

∴f（x）在（0， ]上的最大值是0

（2）证明：∵g（x）=x1﹣x+（1﹣x）x满足：g（x）=g（1﹣x），

∴g（x）关于直线x= 对称，

故只需证明：x1﹣x+（1﹣x）x≤ 在（0， ]恒成立，

而g′（x）=x1﹣x（﹣lnx+ ）+（1﹣x）x[ln（1﹣x）﹣ ]，

而g（ ）= ，只需证明g′（x）≥0，①在（0， ]恒成立，

而﹣xlnx+1﹣x＞0，

即只需证明： ≥ ②，

而由（1）可得0＜x≤ 时，（1﹣x）1﹣x≥xx，即 ≥1③，

要使②式成立，只需证明 ≤1在（0， ]上恒成立，

即只需φ（x）=xlnx﹣（1﹣x）ln（1﹣x）+2x﹣1≤0④，

由（1）得：xlnx﹣（1﹣x）ln（1﹣x）≤0，而2x﹣1≤0，

从而④式成立，

综合③④可知②式成立，

故①式得证，从而原不等式得证

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（2）求出g（x）关于直线x= 对称，只需证明：x1﹣x+（1﹣x）x≤ 在（0， ]恒成立，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．