Question

【题目】已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0，且直线l与圆C交于A、B两点．

(1)若|AB|＝，求直线l的倾斜角；

(2)若点P(1,1)满足2＝，求此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】（1）或. （2）x－y＝0或x＋y－2＝0.

【解析】(1)由圆C：x2＋(y－1)2＝5，得圆的半径r＝，

又|AB|＝，故弦心距d＝＝.

再由点到直线的距离公式可得d＝，

∴＝，解得m＝±.

即直线l的斜率等于±，故直线l的倾斜角等于或.

(2)设A(x1，mx1－m＋1)，B(x2，mx2－m＋1)，由题意2＝可得2(1－x1，－mx1＋m)＝(x2－1，mx2－m)，

∴2－2x1＝x2－1，即2x1＋x2＝3.①

再把直线方程y－1＝m(x－1)代入圆C：x2＋(y－1)2＝5，化简可得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，由根与系数关系可得x1＋x2＝.②

由①②解得x1＝，故点A的坐标为(，)．

把点A的坐标代入圆C的方程可得m2＝1，即m＝±1，故直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.