【题目】如图,在△ABC中,已知CA=1,CB=2,∠ACB=60°.
(1)求||;
(2)已知点D是AB上一点,满足=λ
,点E是边CB上一点,满足
=λ
.
①当λ=时,求
;
②是否存在非零实数λ,使得⊥
?若存在,求出的λ值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)①
②
【解析】
(1)利用余弦定理求出的长即得|
|;
(2)① 时,
分别是
的中点,表示出
,
,利用向量的数量积计算即可;
②假设存在非零实数,使得
⊥
,利用
分别表示出
和
求出 时的
值即可.
(1) 且
(2)①λ=时,
=
,
=
,
∴D、E分别是BC,AB的中点,
∴=
+
=
+
,
=
(
+
),
∴=(
+
)
(
+
)
=+
+
+
=﹣×12+
×1×2×cos120°+
×2×1×cos60°+
×22 =
;
②假设存在非零实数λ,使得⊥
,
由=λ
,得
=λ(
﹣
),
∴=
+
=
+λ(
﹣
)=λ
+(1﹣λ)
;
又=λ
,
∴=
+
=(
﹣
)+λ(﹣
)=(1﹣λ)
﹣
;
∴=λ(1﹣λ)
﹣λ
+(1﹣λ)2
﹣(1﹣λ)
=4λ(1﹣λ)﹣λ+(1﹣λ)2﹣(1﹣λ)
=﹣3λ2+2λ=0,
解得λ=或λ=0(不合题意,舍去);
即存在非零实数λ=,使得
⊥
.
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【题目】高一(1)班参加校生物竞赛学生的成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:
(1)求高一(1)班参加校生物竞赛的人数及分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高;
(2)若要从分数在[80,100]之间的学生中任选2人进行某项研究,求至少有1人分数在[90,100]之间的概率.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , an>0,且满足:(an+2)2=4Sn+4n+1,n∈N* .
(1)求a1及通项公式an;
(2)若bn=(﹣1)nan , 求数列{bn}的前n项和Tn .
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【题目】解答题
(1)求函数f(x)=xlnx﹣(1﹣x)ln(1﹣x)在0<x≤ 上的最大值;
(2)证明:不等式x1﹣x+(1﹣x)x≤ 在(0,1)上恒成立.
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【题目】如图,已知点分别是Δ
的边
的中点,连接
.现将
沿
折叠至Δ
的位置,连接
.记平面
与平面
的交线为
,二面角
大小为
.
(1)证明:
(2)证明:
(3)求平面与平面
所成锐二面角大小.
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