Question

设函数y=ax³+bx²+cx+d的图象与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数在x=2处取得极值0，试确定函数的解析式．

Answer 1

分析：函数y=ax³+bx²+cx+d的图象与y轴交点为P点得到P的坐标，代入到切线方程中求出P的坐标又因为切线方程为12x-y-4=0的斜率为12，导数y′|_x=0=12，求出y′，代入求出c，又根据函数在x=2处取得极值0，得到y′|_x=2=0，f（2）=0，求出a、b得到函数解析式．

解答：解：∵y=ax³+bx²+cx+d的图象与y轴的交点为P，
∴P的坐标为P（0，d）．又曲线在点P处的切线方程为y=12x-4，
P点坐标适合方程，从而d=-4．
又切线斜率k=12，故在x=0处的导数y′|_x=0=12，
而y′=3ax²+2bx+c，y′|_x=0=c，从而c=12．
又函数在x=2处取得极值0，所以

y′ x=2=0 f(2)=0

，即

12a+4b+12=0 8a+4b+20=0

解得a=2，b=-9．
∴所求函数解析式为y=2x³-9x²+12x-4．

点评：考查学生会利用待定系数法求函数解析式，会求函数的导函数并会根据导数表示直线的斜率．理解极值的意义．