Question

已知函数f（x）=ax³+bx+c在x=1处取得极值c-4．
（1）求a，b；
（2）设函数y=f（x）为R上的奇函数，求函数f（x）在区间（-2，0）上的极值．

Answer 1

分析：（1）对f（x）求导数f′（x），导数等于0时f（x）取得极值，可以得到a，b的值；
（2）由f（x）是奇函数，可得c=0，从而得f（x）解析式，求f′（x），根据f′（x）的正负判定f（x）的极值情况并求出．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx+c，
∴f′（x）=3ax²+b；
又f（x）在x=1处取得极值c-4，
∴

f(1)=c-4 f′(1)=0

，即

a+b+c=c-4 3a+b=0

，∴

a=2 b=-6

；
（2）∵y=f（x）为R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即a（-x）³+b（-x）+c=-（ax³+bx+c），
∴c=0，∴f（x）=2x³-6x；
∴f′（x）=6x²-6=6（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，得x=-1或x=1，∵x∈（-2，0），∴取x=-1；
∴当x∈（-2，-1），f′（x）＞0，当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0；
∴f（x）在x=-1处有极大值为f（-1）=-2+6=4，无极小值．

点评：本题考查了根据导函数f′（x）的正负来判定原函数f（x）的增减性与求函数f（x）的极值的问题，是中档题．