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已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=1处取得极值c-4.
(1)求a,b;
(2)设函数y=f(x)为R上的奇函数,求函数f(x)在区间(-2,0)上的极值.
分析:(1)对f(x)求导数f′(x),导数等于0时f(x)取得极值,可以得到a,b的值;
(2)由f(x)是奇函数,可得c=0,从而得f(x)解析式,求f′(x),根据f′(x)的正负判定f(x)的极值情况并求出.
解答:解:(1)∵f(x)=ax3+bx+c,
∴f′(x)=3ax2+b;
又f(x)在x=1处取得极值c-4,
f(1)=c-4
f′(1)=0
,即
a+b+c=c-4
3a+b=0
,∴
a=2
b=-6

(2)∵y=f(x)为R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),即a(-x)3+b(-x)+c=-(ax3+bx+c),
∴c=0,∴f(x)=2x3-6x;
∴f′(x)=6x2-6=6(x+1)(x-1),
令f′(x)=0,得x=-1或x=1,∵x∈(-2,0),∴取x=-1;
∴当x∈(-2,-1),f′(x)>0,当x∈(-1,0)时,f′(x)<0;
∴f(x)在x=-1处有极大值为f(-1)=-2+6=4,无极小值.
点评:本题考查了根据导函数f′(x)的正负来判定原函数f(x)的增减性与求函数f(x)的极值的问题,是中档题.
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x
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1
2
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1
4
)
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