Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）已知点是曲线上一点，若点到曲线的最小距离为，求的值.

Answer 1

【答案】(1) ，；(2) 或.

【解析】试题分析：（1）消去参数得到的普通方程为．利用可以把的极坐标方程化为直角坐标方程．

（2）把的直角方程转化为参数方程，利用点到直线的距离公式算出距离为，利用得到．因为直线与椭圆是相离的，所以或，分类讨论就可以得到相应的值．

解析：（1）由曲线的参数方程，消去参数 ，可得 的普通方程为：．

由曲线的极坐标方程得， ∴曲线的直角坐标方程为 ．

（2）设曲线上任意一点为 ，，则点到曲线 的距离为．∵， ∴，，

当时，，即；

当时，，即．∴或．