Question

【题目】函数 .

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若函数有两个极值点，且，证明： .

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：

(1)结合函数的解析式求导可得，分类讨论可得：

当时， 在上递减，

在和上递增，当时，在上递增.

(2)由题意结合函数的性质可知： 是方程的两根，结合所给的不等式构造对称差函数 ，结合函数的性质和自变量的范围即可证得题中的不等式.

试题解析：

函数的定义域为，

（1）令，开口向上， 为对称轴的抛物线，

当时，

①，即时， ，即在上恒成立，

②当时，由，得，

因为，所以，当时， ，即，

当或时， ，即，

综上，当时， 在上递减，

在和上递增，当时，在上递增.

（2）若函数有两个极值点且，

则必有，且，且在上递减，在和上递增，

则，

因为是方程的两根，

所以，即，

要证

又

，

即证对恒成立，

设

则

当时， ，故，

所以在上递增，

故，

所以，

所以.