Question

【题目】已知有穷数列， ， ， ， ，若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列．

对于数列，定义如下操作过程从中任取两项， ，将的值添在的最后，然后删除， ，这样得到一个项的新数列，记作（约定：一个数也视作数列）．若还是数列，可继续实施操作过程．得到的新数列记作， ，如此经过次操作后得到的新数列记作．

（Ⅰ）设， ， ， ，请写出的所有可能的结果．

（Ⅱ）求证：对数列实施操作过程后得到的数列仍是数列．

（Ⅲ）设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，求的所有可能的结果，并说明理由．

Answer 1

【答案】（）见解析（）见解析（）．

【解析】试题分析：（1）中任取2项，有种取法，所以可以得到6种；（2）由，有，得证；（3）经验证，我们可知数列满足交换律和结合律，与具体操作过程无关，则，

易知， ， ， ．

，所以．

试题解析：

（）有如下种可知结果： ， ， ； ， ， ；

， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ．

（）证明：∵， ，有：

且，

∴．

故对数列实施操作后得到的数列仍是数列．

（）由题意可知中仅有一项，

对于满足， 的实数， 定义运算： ，

下面证明这种运算满足交换律和结合律．

∵，且，

∴，即该运算满足交换律．

∵，

．

∴，即该运算满足结合律，

∴中的项与实施的具体操作过程无关．

选择如下操作过程求，由（）可知，

易知， ， ， ．

．

综上可知．