【题目】已知集合,其中
,由
中的元素构成两个相应的集合:
,
.
其中是有序数对,集合
和
中的元素个数分别为
和
.
若对于任意的,总有
,则称集合
具有性质
.
(Ⅰ)检验集合与
是否具有性质
并对其中具有性质
的集合,写出相应的集合
和
.
(Ⅱ)对任何具有性质的集合
,证明
.
(Ⅲ)判断和
的大小关系,并证明你的结论.
【答案】(Ⅰ)集合不具有性质
,集合
具有性质
,相应集合
,
,集合
,
(Ⅱ)见解析(Ⅲ)
【解析】解:集合不具有性质
.
集合具有性质
,其相应的集合
和
是
,
.
(II)证明:首先,由中元素构成的有序数对
共有
个.
因为,所以
;
又因为当时,
时,
,所以当
时,
.
从而,集合中元素的个数最多为
,
即.
(III)解: ,证明如下:
(1)对于,根据定义,
,
,且
,从而
.
如果与
是
的不同元素,那么
与
中至少有一个不成立,从而
与
中也至少有一个不成立.
故与
也是
的不同元素.
可见, 中元素的个数不多于
中元素的个数,即
,
(2)对于,根据定义,
,
,且
,从而
.如果
与
是
的不同元素,那么
与
中至少有一个不成立,从而
与
中也不至少有一个不成立,
故与
也是
的不同元素.
可见, 中元素的个数不多于
中元素的个数,即
,
由(1)(2)可知, .
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校举办“中国诗词大赛”活动,某班派出甲乙两名选手同时参加比赛. 大赛设有15个诗词填空题,其中“唐诗”、“宋词”和“毛泽东诗词”各5个.每位选手从三类诗词中各任选1个进行作答,3个全答对选手得3分,答对2个选手得2分,答对1个选手得1分,一个都没答对选手得0分. 已知“唐诗”、“宋词”和“毛泽东诗词”中甲能答对的题目个数依次为5,4,3,乙能答对的题目个数依此为4,5,4,假设每人各题答对与否互不影响,甲乙两人答对与否也互不影响.
求:(1)甲乙两人同时得到3分的概率;
(2)甲乙两人得分之和的分布列和数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在三棱柱中,侧棱
底面
,
为棱
中点.
,
,
.
(I)求证: 平面
.
(II)求证: 平面
.
(III)在棱的上是否存在点
,使得平面
平面
?如果存在,求此时
的值;如果不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知有穷数列,
,
,
,
,若数列
中各项都是集合
的元素,则称该数列为
数列.
对于数列
,定义如下操作过程
从
中任取两项
,
,将
的值添在
的最后,然后删除
,
,这样得到一个
项的新数列,记作
(约定:一个数也视作数列).若
还是
数列,可继续实施操作过程
.得到的新数列记作
,
,如此经过
次操作后得到的新数列记作
.
(Ⅰ)设,
,
,
,请写出
的所有可能的结果.
(Ⅱ)求证:对数列
实施操作过程
后得到的数列
仍是
数列.
(Ⅲ)设,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,求
的所有可能的结果,并说明理由.
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